Funciones hiperbólicas

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ciertas combinaciones de las funciones exponenciales ex y e–x, se presentan con frecuencia en matemática y sus aplicaciones, por lo que se identifican con nombres especiales.

Se definen:

  Seno hiperbólico

 

  Coseno hiperbólico

  Tangente hiperbólica

  Cotangente hiperbólica

  Secante hiperbólica

  Cosecante hiperbólica

Como se puede apreciar, todas son funciones de ex y de e-x y deben su nombre a que están relacionadas con la hipérbola al igual que las trigonométricas o circulares con la circunferencia.

Las gráficas del seno y coseno hiperbólicos se pueden trazar empleando la suma gráfica de funciones como se muestra a continuación.

 

Función seno hiperbólico

Observen, en la siguiente gráfica interactiva, que cada punto de la gráfica de y = senh(x) se obtiene sumando las imágenes de y = ex y de y = - e-x y luego dividiendo por 2.
Es decir, resulta senh(x) = (ex - e-x)/2.

Para analizar cómo se obtiene la gráfica respectiva, por ejemplo, ubiquen el deslizador en x = -1,2. Se observan dos segmentos: el verde, que corresponde a y(-1,2) = -e-1,2 que es un valor negativo y el naranja que corresponde a y(-1,2) = e1,2 , que es positivo pero muy chico. A la izquierda, el segmento MN, corresponde a la resta (un valor positivo y otro valor negativo) de esos dos segmentos. Luego, al dividirlo por la mitad, se obtiene y(-1,2)= senh(-1,2).
Ahora ubiquen el deslizador en x = 0. En este punto, e0 - e-0 = 0. esto se puede observar en los segmentos verde como el naranja que son iguales y de longitud 1 y al restarlos y dividirlos por 2, da un punto en el origen. Prueben con otros valores de x y analicen la resta de segmentos.

Grupo Ingeniería & Educación, Creación realizada con GeoGebra 

 

 

  Analicen, para la función seno hiperbólico:

a) ¿Cuál es el dominio? ¿Cuál es su codominio?
b) ¿Tiene asíntotas?
c) ¿Tiene ceros o raíces? ¿Corta al eje x?
d) ¿Cuál es el punto donde corta al eje y?
e) ¿Es inyectiva?.

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Función coseno hiperbólico

Observen, en la siguiente gráfica interactiva, que cada punto de la gráfica de y = cosh(x) se obtiene sumando las imágenes de y = ex y de y = e-x y luego dividiendo por 2.
Es decir, resulta cosh(x) = (ex + e-x)/2.

Para analizar cómo se obtiene la gráfica respectiva, por ejemplo, ubiquen el deslizador en x = -1,2. Se observan dos segmentos: el verde, que corresponde a y(-1,2) = e-1,2 que es un valor negativo y el naranja que corresponde a y(-1,2) = e1,2 , que es positivo pero muy chico. A la izquierda, el segmento MN, corresponde a la suma de esos dos segmentos. Luego, al dividirlo por la mitad, se obtiene y(-1,2)= cosh(-1,2).
Ahora ubiquen el deslizador en x = 0. Tanto el segmento verde como el naranja son iguales y de longitud 1 (porque las dos funciones exponenciales en x=0, valen 1). Así que al sumarlos y dividirlos por 2, se obtiene otro segmento de igual longitud que los anteriores y es el que corresponde a:
                             y(0) = cosh(0)=(1+1)/2 = 1 

Prueben con otros valores de x y analicen la suma de segmentos.

Grupo Ingeniería & Educación, Creación realizada con GeoGebra 
 

 

  Analicen, para la función coseno hiperbólico:

a) ¿Cuál es el dominio? ¿Cuál es su codominio?
b) ¿Tiene asíntotas?
c) ¿Tiene ceros o raíces? ¿Corta al eje x?
d) ¿Cuál es el punto donde corta al eje y?
e) ¿Es inyectiva?.


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En el botón aplicaciones se verán algunas utilidades de esta función.


 

Función tangente hiperbólica

En la siguiente figura se muestra la gráfica de la tangente hiperbólica.

 

  Analicen:

a) ¿Cuál es el dominio? ¿Cuál es su codominio?
b) ¿Tiene asíntotas?
c) ¿Tiene ceros o raíces? ¿Corta al eje x?
d) ¿Cuál es el punto donde corta al eje y?
e) ¿Es inyectiva?.


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Función cotangente hiperbólica

En la siguiente figura se muestra la gráfica de la cotangente hiperbólica.

  Analicen, para la función cotangente hiperbólica:

a) ¿Cuál es el dominio? ¿Cuál es su codominio?
b) ¿Tiene asíntotas?
c) ¿Tiene ceros o raíces? ¿Corta al eje x?
d) ¿Cuál es el punto donde corta al eje y?
e) ¿Es inyectiva?


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Función secante hiperbólica

En la siguiente figura se muestra la gráfica de la secante hiperbólica.

  Analicen, para la función secante hiperbólica:

a) ¿Cuál es el dominio? ¿Cuál es su codominio?
b) ¿Tiene asíntotas?
c) ¿Tiene ceros o raíces? ¿Corta al eje x?
d) ¿Cuál es el punto donde corta al eje y?
e) ¿Es inyectiva?


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Función cosecante hiperbólica

En la siguiente figura se muestra la gráfica de la cosecante hiperbólica.

  Analicen, para la función cosecante hiperbólica:

a) ¿Cuál es el dominio? ¿Cuál es su codominio?
b) ¿Tiene asíntotas?
c) ¿Tiene ceros o raíces? ¿Corta al eje x?
d) ¿Cuál es el punto donde corta al eje y?
e) ¿Es inyectiva?


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