Propiedades de autovalores

   En esta sección estudiaremos algunas de las propiedades que verifican los autovalores de una matriz cuadrada.

  Enunciaremos las propiedades, y veremos algunos ejemplos. Las demostraciones se pueden encontrar en la bibliografía citada.

ü Los autovalores de una matriz A y su transpuesta, At, coinciden. Ver ejemplo

ü Si A es una matriz de rango r, el número de autovalores nulos de una matriz de orden n es mayor o igual a n-r. Ver ejemplo

ü El determinante de una matriz A es igual al producto de sus autovalores. Ver ejemplo

ü La traza de una matriz A coincide con la suma de sus autovalores. Ver ejemplo

ü Si una matriz A tiene por autovalores l1, l2, ..., ln, entonces los autovalores de la matriz aA son  al1,a l2, ..., aln. Ver ejemplo

ü Si una matriz A tiene por autovalores l1, l2, ..., ln, entonces los autovalores de la matriz inversa A-1 son  1/l1,1/ l2, ..., 1/ln. Ver ejemplo

ü Los autovalores de una matriz triangular son los elementos de la diagonal. Ver ejemplo

Propiedades de autovectores

  Aquí mencionamos algunas de las propiedades que verifican los autovectores de una matriz cuadrada.

  Enunciaremos las propiedades, y veremos algunos ejemplos. Las demostraciones se pueden encontrar en la bibliografía citada.

ü Los autovectores de una matriz A y su transpuesta, At, no coinciden. Ver ejemplo

ü Si una matriz es simétrica y sus autovalores son distintos, entonces los correspondientes autovectores son ortogonales. Ver ejemplo

ü Los autovectores de A y aA son los mismos. Ver ejemplo

ü Los autovectores de A y A-1 son los mismos. Ver ejemplo

ü Los autovectores de una matriz correspondientes a autovalores distintos son siempre linealmente independientes.. Ver ejemplo

 

Propiedad:

 

ü Los autovalores de una matriz A y su transpuesta, At, coinciden.

Ejemplo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Consideremos las siguientes matrices:

Claramente vemos que la matriz B es la transpuesta de A.

Calculemos sus ecuaciones características:

Como podemos observar, ambas ecuaciones son idénticas, por lo que tienen las mismas raíces, l = 1 y
 l = 2.

Por lo tanto, los autovalores de la matriz A y su transpuesta, B, son iguales.

Volver

 

Propiedad

ü Si A es una matriz de rango r, el número de autovalores nulos de una matriz de orden n es mayor o igual a n-r.
Ejemplo

 

 

 

 

 

 

 

Consideremos la matriz:

Si calculamos sus autovalores, tenemos:

Las raíces del polinomio característico, es decir, los autovalores, son l = 0, l = 1 y l = 4.

El rango de la matriz A es 2, por lo tanto, n -r = 3-2 = 1, que en este caso coincide con la cantidad de autovalores nulos.

Volver

 

Propiedad

ü El determinante de una matriz A es igual al producto de sus autovalores.

Ejemplo

 

 

 

 

 

 

 

 

Consideremos la matriz:

Calculemos sus autovalores:

Las raíces de la ecuación característica, es decir, los autovalores, son l = -1 y l = 5.

Si calculamos el determinante de la matriz A, tenemos:

Vemos que el producto de los autovalores, coincide con el determinante de A.

Volver

 

Propiedad

ü La traza de una matriz A coincide con la suma de sus autovalores.

Ejemplo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Consideremos la matriz:

Calculemos sus autovalores:

Las raíces de la ecuación característica, es decir, los autovalores, son l = 3 (doble) y l = -4. Por lo tanto la suma de los autovalores es 3+3+(-4) = 2

Si calculamos la traza de la matriz A, tenemos que

 tr(A) = 5+(-1)+(-2) = 2

Vemos que la suma de los autovalores, coincide con la traza de A.

Volver

 

Propiedad

ü Si una matriz A tiene por autovalores l1, l2, ..., ln, entonces los autovalores de la matriz aA son  al1,a l2, ..., aln
Ejemplo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Consideremos las siguientes matrices:

Claramente vemos que  B = 3A.

Calculemos sus ecuaciones características:

Las raíces de esta ecuación, o sea, los autovalores de A, son l = 1 y l = 6.

Las raíces de esta ecuación, o sea, los autovalores de B son l = 3 y l = 18.

Se verifica que los autovalores de B son los de A multiplicados por el factor 3.

Volver

 


 Propiedad

ü Si una matriz A tiene por autovalores l1, l2, ..., ln, entonces los autovalores de la matriz inversa A-1 son  1/l1,1/ l2, ..., 1/ln
Ejemplo

 

 

 

 

 

 

 

Consideremos la siguiente matriz y su inversa:

Calculamos el polinomio característico de A, para determinar sus autovalores:

Las raíces del polinomio característico, es decir, los autovalores de A, son l = -3 y l = 2.

Calculamos ahora el polinomio característico de A-1, para determinar sus autovalores:

Las raíces del polinomio característico, es decir, los autovalores de A-1, son l = -1/3 y l = 1/2.

Se cumple efectivamente, que los autovalores de la matriz inversa son los recíprocos de los autovalores de la matriz.

Volver

 

Propiedad

ü Los autovalores de una matriz triangular son los elementos de la diagonal.

Ejemplo

 

 

 

 

 

 

Consideremos la matriz:

Calculemos su ecuación característica, desarrollando el determinante por la primer columna (ya que tiene ceros):

Claramente se ve que las raíces de este polinomio son los elementos de la diagonal de la matriz.

Volver

 

Propiedad

ü Los autovectores de una matriz A y su transpuesta, At, no coinciden.
Ejemplo

 

 

 

 

 

 

Consideremos las matrices:

Claramente se ve que B = At. Calculemos sus ecuaciones características:

Como podemos observar, ambas tienen ecuaciones características idénticas, por lo que tienen las mismas raíces, l =  1 y l =  2. Por lo tanto, los autovalores de la matriz A y su transpuesta, B, son iguales. Calculemos los autovectores correspondientes.

Si  l = 1, entonces:

Para la matriz A:

Las soluciones de este sistema son todos los vectores de la forma (k, -k)t. Entonces los autovectores de A, asociados a l = 1 son x1 = k (1, -1)t.

Para la matriz B = At:

Las soluciones de este sistema son todos los vectores (k, 2k)t. Entonces los autovectores de B, asociados a l = 1 son x1 = k (1, 2)t.
 

Si l = 2, entonces:

Para la matriz A:

Las soluciones de este sistema son todos los vectores de la forma (-2k, k)t. Entonces los autovectores de A, asociados a l = 1 son x1 = k (-2, 1)t.

Para la matriz B = At:

Las soluciones de este sistema son todos los vectores de la forma (k, k)t. Entonces los autovectores de A, asociados a l = 1 son x1 = k (1, 1)t.

Por lo tanto, vemos que los autovectores de una matriz y su transpuesta no coinciden.

Volver

 

Propiedad

ü Si una matriz es simétrica y sus autovalores son distintos, entonces los correspondientes autovectores son ortogonales.
Ejemplo

 

 

 

 

 

 

Consideremos la matriz:

El polinomio característico es: l3 – 8 l2 + 12 l y sus autovalores son l1 = 2, l2 = 0 y l3 = 6.

Calculemos los autovectores correspondientes.

Si l = 2, entonces:

Las soluciones de este sistema son todos los vectores (0, 0, k)t. Entonces los autovectores de A, asociados a l = 2 son x1 = k (0, 0, 1)t.

Si l = 0

Las soluciones de este sistema son todos los vectores (-k, k, 0)t. Entonces los autovectores de A, asociados a l = 2 son x2 = k (-1, 1, 0)t.

Si l = 6, entonces:

Las soluciones de este sistema son todos los vectores (k, k, 0)t. Entonces los autovectores de A, asociados a l = 6 son x3 = k (1, 1, 0)t.

Fácilmente se prueba que los vectores x1 = k (0, 0, 1)t, x2 = k (-1, 1, 0)t y x3 = k (1, 1, 0)t son ortogonales (haciendo el producto escalar de a pares!!).

Volver

 

Propiedad

ü Los autovectores de A y aA son los mismos.

 
Ejemplo

 

 

 

 

Consideremos las matrices A y B = 3A:

Calculemos sus ecuaciones característica:

Como podemos observar, las matrices tienen ecuaciones características distintas. Las raíces de estas ecuaciones son, l1 = 1 y l2 = 6 para la matriz A y l1 = 3 y l2 = 18 para la matriz B.

Calculemos los autovectores correspondientes. Para la matriz A, si l = 1:

Las soluciones de este sistema son todos los vectores (k, -3k/2)t. Entonces los autovectores de A, asociados a l = 1 son x1 = k (1, -3/2)t.

Si l = 6:

Las soluciones de este sistema son todos los vectores (k, k)t. Entonces los autovectores de A, asociados a l = 1 son x2 = k (1, 1)t.

Para la matriz B, si l = 3:

Las soluciones de este sistema son todos los vectores (k, -3k/2)t. Entonces los autovectores de B, asociados a l = 3 son x1 = k (1, -3/2)t.

Si l = 18:

Las soluciones de este sistema son todos los vectores (k, k)t. Entonces los autovectores de B, asociados a l = 18 son x2 = k (1, 1)t.

Este ejemplo cumple la propiedad de que los autovectores de A y un múltiplo de A coinciden.

Volver

 

Propiedad

ü Los autovectores de A y A-1 son los mismos.

 
Ejemplo

 

 

 

 

 

 

Sean A y B = A-1 las matrices:

Calculemos sus ecuaciones características:

Como podemos observar, las matrices tienen ecuaciones características distintas. Las raíces de estas ecuaciones son, l1 = -3 y l2 = 2 para la matriz A y l1 = -1/3 y l2 = 1/2 para la matriz B. Calculemos los autovectores correspondientes.

Para la matriz A, si l = -3:

Las soluciones de este sistema son todos los vectores (k, k)t. Entonces los autovectores de A, asociados a l1 = 1 son x1 = k (1, 1)t.

Si l = 2:

Las soluciones de este sistema son todos los vectores (k, -4k)t. Entonces los autovectores de A, asociados a l2 = 1 son x2 = k (1, -4)t.

Para la matriz B, si  l = -1/3:

Las soluciones de este sistema son todos los vectores (k, k)t. Entonces los autovectores de B, asociados a l1 = -1/3 son x1 = k (1, 1)t. Si l = 1/2:

Las soluciones de este sistema son todos los vectores (k, -4k)t. Entonces los autovectores de B, asociados a l2 = 1 son x2 = k (1, -4)t.

Volver

 

Propiedad

ü Los autovectores de una matriz correspondientes a autovalores distintos son siempre linealmente independientes.

 
Ejemplo

 

 

 

 

 

 

Consideremos la matriz:

El polinomio característico de esta matriz es: l3 – 11 l2 + 34 l - 24, y sus autovalores son l1 = 1, l2 = 4 y l3 = 6.Calculemos los autovectores correspondientes, resolviendo en cada caso (A –  lI) x = (0, 0)t.

Si l= 1, entonces:

Entonces, los autovectores de A, asociados a l = 1 son x1 = k (1, -3/2, 0)t.

Si l= 4:

Entonces, los autovectores de A, asociados a l = 4 son x2 = k (1, 0, 0)t.

Si l = 6:

Entonces, los autovectores de A, asociados a l = 6 son x3 = k (5/2, 1, 1)t.

Si planteamos ahora  a (1, -3/2, 0)t + b (1, 0, 0)t + g(5/2, 1, 1)t = (0, 0, 0)t , vemos que la única solución de este sistema, es a = b = g = 0, por lo tanto los vectores encontrados son LI.

Volver