Se tiene una membrana elástica circular, de radio 1, de modo que
si se elige un sistema de coordenadas cartesianas con centro coincidente con el
centro de la membrana. La misma se muestra en la figura 1, y en este sistema de
coordenadas, la ecuación de los puntos frontera de la misma es:
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x2 + y2 = 1 |
(1) |
La membrana es sometida a una deformación tal que cada punto de
coordenadas (x1, y1) se convierte en el punto de
coordenadas (x2, y2) por la transformación lineal:
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(2) |
Para determinar en qué tipo de curva se transforma la
circunferencia frontera de la membrana cuando es sometida a la deformación, se
expresará la ecuación (1) en forma paramétrica:
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(3) |
Luego de la deformación definida por (2), los puntos frontera de
la membrana se transforman en los puntos:
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(4) |
La deformación de la frontera de la membrana está dada por la
curva paramétrica:
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(5) |
En la Figura 1 se muestra como queda deformada la membrana.
Para expresar la ecuación paramétrica (5) en coordenadas cartesianas, se debe primero elevar al cuadrado cada uno de los miembros de la misma,
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(6) |
y luego sumar las expresiones obtenidas, según (6), se obtiene:
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(7) |
Teniendo en cuenta que cos2q
+ sen2q = 1, la igualdad (7) puede
escribirse de la forma:
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(8) |
Para expresar (8) en función de x e y, es necesario emplear las
ecuaciones (5). Efectuando el producto entre ambas resulta:
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(9) |
Luego, despejando en (9) y sustituyendo dicha expresión en (8) se
obtiene:
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(10) |
Trabajando algebraicamente la igualdad (10) se determina que la
ecuación cartesiana de la curva frontera de la membrana deformada está dada por:
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(11) |
La Figura 3 muestra los gráficos de la membrana original y de la membrana deformada.
A partir del análisis de la deformación de esta membrana surgen los siguientes interrogantes:
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¿Habrá puntos de la membrana que no roten durante la deformación? Es decir, puntos que se mantengan en la misma recta de acción, ya sea conservando su dirección o tomando la dirección opuesta.
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Mediante la observación de la ecuación (11) no es posible identificar de qué curva se trata. Sin embargo, al observar la Figura 3 se puede determinar que la curva parece ser una elipse rotada con respecto al sistema de coordenadas utilizado. ¿Será posible, a partir de la ecuación (9), pasar a otro sistema de coordenadas más apropiado que permita identificar dicha curva?
Para responder al primer interrogante,
se calculan los autovalores y autovectores asociados a la matriz de la
transformación lineal:
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(12) |
La solución de (12) está dada por l1 = 6 y l2 = 2.
Para calcular los autovectores para cada autovalor, es necesario resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
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(13) |
Si l1 =
6, resulta:
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(14) |
La solución de (14) son los pares de la forma (k, k)t. Por lo tanto, el autoespacio correspondiente al autovalor l1 = 6 es E1 = {k(1, 1)t, kÎ R}, por lo tanto un autovector correspondiente a este autovalor es x1 = (1, 1)t.
Si l1 =
6, resulta:
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(15) |
La solución de (14) son los pares de la forma (k, -k)t. Por lo tanto, el autoespacio correspondiente al autovalor l1 = 6 es E2 = {k(1, -1)t, kÎ R}, por lo tanto un autovector correspondiente a este autovalor es x2 = (1, -1)t.
Todos los vectores correspondientes a los autoespacios E1 y E2 mantienen su dirección luego de la deformación, es decir, no experimentan rotación como consecuencia de la deformación. Las direcciones determinadas por los autovectores normalizados se llaman direcciones principales.
En la Figura 3 se dibujan las rectas generadas por x1 y x2. Todos los puntos de la membrana localizados sobre esas rectas (excepto el origen, centro de la membrana), están sometidos a una dilatación, el resto de los puntos de la membrana, al deformarse, quedan sometidos a dilatación y rotación.
Para responder a la segunda pregunta, en primer lugar, se considerará la ecuación cuádrica en dos variables:
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a x2 + b xy + cy2 + m x + n y = k |
(16) |
donde a, b, c, m, n, k son números reales y a, b, no nulos simultáneamente.
La ecuación anterior representa una cónica rotada no degenerada (elipse, parábola, hipérbola) o una cónica degenerada (par de rectas o puntos). El término bxy indica la rotación, es decir, que el eje focal no es paralelo a ninguno de los ejes coordenados x, y con respecto a los cuales está expresada la cónica.
La ecuación (16) puede escribirse en forma matricial como:
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(17) |
Para identificar la cónica, se debe escribir la ecuación en otro sistema de coordenadas, rotados con respecto al original, de modo que la cónica tenga su eje focal paralelo a alguno de los ejes de este nuevo sistema de coordenadas cartesianas x´y´.
Para encontrar este nuevo sistema de coordenadas x´y´, será necesario diagonalizar la matriz A, esto permitirá anular el coeficiente b del término rectangular b x´y´, lo cual significa que la cónica estará expresada en un nuevo sistema de coordenadas x´y´ con respecto al cual el eje focal será paralelo. De esta manera, se podrá identificar la cónica sin ningún tipo de problema. Además, por ser A una matriz simétrica, su diagonalización será ortogonal, y sus autovalores normalizados generarán el nuevo sistema de coordenadas.
El método para rototrasladar una cónica consiste en:
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Encontrar los autovalores , de la matriz A.
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Determinar los autovectores normalizados de la matriz A: x1, x2
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La matriz P que diagonaliza ortogonalmente a la matriz A es la matriz cuyas columnas son los autovectores normalizados, x1, x2, donde el orden de las columnas debe ser tal que |P|=1. Esto permite asegurar que se produzca solamente una rotación de ejes. Como P es una matriz ortogonal, resulta :
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La ecuación de la cónica en el nuevo sistema de coordenadas es
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Así, resulta:
En la ecuación obtenida no aparece el término xy, por lo tanto, será sencillo identificar la cónica.
Teniendo en cuenta lo anterior, se identificará la cónica que representa la ecuación 5x2 + 5y2 -8xy = 36, obtenida tras la deformación de la membrana elástica circular. Para ello, se la expresará en forma matricial como:
Para obtener matriz P que diagonaliza ortogonalmente a la matriz A, se calcularán los autovalores asociados a la esta última y los correspondientes autovectores normalizados.
La solución de esta ecuación son los valores l1 = 1 y l2 = 9
Para calcular los autovectores para
cada autovalor, se debe resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
Si l1 = 1, resulta:
La solución de este sistema son los pares de la forma (k, k)t. Luego, un autovector correspondiente al autovalor l1 = 1 es (1, 1)t que normalizado, resulta:
Si l2 = 9, resulta:
La solución de este sistema son los pares de la forma (k, -k)t. Luego, un autovector correspondiente al autovalor l2 = 9 es (1, -1)t que normalizado, resulta:
Por lo tanto, la matriz P que diagonaliza ortogonalmente a la matriz A es:
Y la matriz D semejante a la matriz A es:
De esta manera, la ecuación de la cónica rotada está dada por:
resultando entonces la ecuación x'2+9y'2=36:
De esta manera queda demostrado que la ecuación 5x2 + 5y2 -8xy = 36 , obtenida tras la deformación de la membrana es una elipse.